本頁面測試 MathJax 渲染網頁上的 $\LaTeX$ 公式。MathJax 與 Hugo 匹配使用時，因與 emph 等標籤衝突，$\LaTeX$ 源碼中的下標和閉區間符號等可能有時需要稍加調整，如 \sum\_{k=1}^n b\_k^2 中的 \_ 要寫成 \_，如 \xi\_{i} \in [x\_{i-1},x\_{i}] 或許要寫成 \xi\_{i} \in \[x\_{i-1},x\_{i}\]，方能正確渲染。
$$
\frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} \equiv 1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}} {1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\cdots} } } }
$$
$$\Gamma\ \Delta\ \Theta\ \Lambda\ \Xi\ \Pi\ \Sigma\ \Upsilon\ \Phi\ \Psi\ \Omega$$
$$
\begin{equation}
\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)
\end{equation}
$$
測試結論
簡單測試，發覺 MathJax 貌似勉強可滿足公式輸入需求。複雜些的需求，還得乖乖回到 $\LaTeX$ Book 或 Beamer 本身。電工王師傅畢竟只是電工而已，有高級職稱也沒啥用呢，各人幹各人擅長之事吧。
定積分的定義
……從上面所舉的這些例子來考察，儘管問題來自不同的領域，但解決它們的方法卻完全一樣，卽歸結到計算一個特殊構造的極限
$$\lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})~~~~(\xi_{i} \in [x_{i-1},x_{i}])$$
以後我們還會看到，不僅求曲邊梯形的面積、變力所做的功、變速運動的路程等問題，都可歸結到這樣一個極限，還有很廣泛的一類實際問題的求解最後也歸結到計算這樣一個極限。爲此，有必要將它們的共同特點抽象出來，闡明概念，進行深入的討論。
設 $f(x)$ 是定義在區間 $[a,b]$ 上的連續函數，以 $T$ 表示用點 $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n-1} < x_{n} = b$ 來分區間 $[a,b]$ 的任意一種分法，對於這個分法，作和數
$$\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \varDelta x_{i},$$
其中 $\varDelta x_{i} = x_{i}-x_{i-1},$ 而 $\xi_{i} \in [x_{i-1},x_{i}],$ 稱和數 $\sigma$ 爲函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的積分和。
顯然，這個和數既與分法 $T$ 有關，又與 $\xi_{i}$ 的取法有關。但如果我們把小區間 $[x_{i-1},x_{i}] (i=1, 2, \cdots, n)$ 中最大一個的長度記作 $\lambda(T)$，卽令 $\lambda(T) = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \varDelta x_{i},$ 那麼，當 $\lambda(T) \to 0$ 時，如果這些不同的和，都會趨向同一極限值 $I$，這個值 $I$ 就稱爲函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的定積分（definite integral），記作
$$I=\int_{b}^{a}f(x),\mathrm{d}x.$$
「$\int$」稱爲積分號，表示「和」的意思，$f(x),\mathrm{d}x$ 則相應於 $f(\xi_{i})\varDelta x_{i},$ 稱爲被積表達式（Integrand），積分號下的函數 $f(x)$ 稱爲被積函數（Integrand），$x$ 稱爲積分變量，$a$ 與 $b$ 分別稱爲積分的下限與上限。
但是在什麼情況下，定積分是存在的？卽定積分的存在性定理，這將在第 9 章 9.3 節中進行仔細的討論。
從定積分的定義可以看出：定積分所涉及的是函數 $f(x)$ 在整個積分區間 $[a,b]$ 上的整體性質，卽定積分的值與函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 中的每一段都有關。
從定積分的定義還可以看出：函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的定積分的數值，只與函數 $f(x)$ 本身及區間 $[a,b]$ 有關，而與積分變量的符號無關，卽
$$\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(t),\mathrm{d}t=\int_{a}^{b}f(\xi),\mathrm{d}\xi=\cdots.$$
有了定積分的定義之後，我們知道在 \ref{ssc:area} 節中所計算的是：
$$(1) \int_{0}^{a} x^2,\mathrm{d}x=\dfrac{a^3}{3};$$
$$(2) \int_{a}^{b}x^2,\mathrm{d}x=\dfrac{b^3-a^3}{3};$$
$$(3) \int_{a}^{b}x^4,\mathrm{d}x=\dfrac{b^5-a^5}{5};$$
$$(4) \int_{a}^{b}x^m,\mathrm{d}x=\dfrac{b^{m+1}-a^{m+1}}{m+1}.(m \in \mathbb{Z}, m \neq -1)$$
此外，求曲線 $y = f(x)$ 及直線 $x = a, x = b, y = 0$ 所圍成的曲邊梯形的面積就成爲求定積分 $\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x;$ 求變速直線運動從時間 $t_{0}$ 到 $T$ 的位移就成爲求定積分 $\int_{t_{0}}^{T}v(t),\mathrm{d}t,$ 這裏 $v(t)$ 爲變速；求變力作用下的直線運動從始點 $s_{0}$ 到 $s$ 所做的功，就成爲求定積分 $\int_{s_{0}}^{s}F(s),\mathrm{d}s,$ 這裏 $F(s)$ 爲變力。
在定義定積分 $\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x$ 的時候，規定 $a < b,$ 至於 $a \geqslant b$ 時表示什麼意義還沒有明確指出，現在我們規定
$$\int_{b}^{a}f(x),\mathrm{d}x=-\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x$$
$$\int_{a}^{a}f(x),\mathrm{d}x=0$$
從定積分的定義立刻得到以下的性質：
$1^{\circ}$ $$\int_{a}^{b}(f(x) \pm g(x)),\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x \pm \int_{a}^{b}g(x),\mathrm{d}x$$
$2^{\circ}$ $c$ 爲任意常數， $$\int_{a}^{b}cf(x),\mathrm{d}x=c\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x$$
$3^{\circ}$ 不論 $a,b,c$ 三點的相互位置如何，恆有
$$\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x),\mathrm{d}x + \int_{c}^{b}f(x),\mathrm{d}x$$
$4^{\circ}$ 若在 $[a,b]$ 上恆有 $f(x) \leqslant g(x)$，則
$$\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x \leqslant \int_{a}^{b}g(x),\mathrm{d}x$$
特別，若在 $[a,b]$ 上，$m \leqslant f(x) \leqslant M,$ 則 $m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x \leqslant M(b-a).$
1～4 都是顯然的，不加以證明了。
$5^{\circ}$ $$\bigg| \int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x \bigg| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|,\mathrm{d}x$$
事實上，由不等式 $-|f(x)|\leqslant f(x) \leqslant |f(x)|$, 得到
$$-\int_{a}^{b}|f(x)|,\mathrm{d}x \leqslant \int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x \leqslant\int_{a}^{b}|f(x)|,\mathrm{d}x$$
此即 $| \int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x | \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|,\mathrm{d}x.$ 這個性質和不等式 $|a+b|\leqslant |a|+|b|$ 相當，也可以從定積分定義直接證明。
積分中值定理
$6^{\circ}$ 對區間 $[a,b]$ 上的任一連續函數 $f(x)$，在 $[a,b]$ 上一定有一點 $\xi$ 使得
$$\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).$$
事實上，若 $m,M$ 分別爲 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，則 $m \leqslant f(x) \leqslant M (x \in [a,b])$ 由性質 4 得 $m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x \leqslant M(b-a),$ 即
$$m \leqslant \dfrac{\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x}{b-a} \leqslant M$$
記 $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x = \mu,$ 則 $m \leqslant \mu \leqslant M,$ 由於 $f(x)$ 是閉區間 $[a,b]$ 上的連續函數，而 $m,M$ 分別爲 $f(x)$ 在這區間上的最小值和最大值，故根據連續函數的性質，在區間 $[a,b]$ 上一定有一點 $\xi,$ 使得 $f(\xi) = \mu,$ 卽
$$\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x = f(\xi),$$
亦卽
$$\int_{a}^{b}f(x),\mathrm{d}x = f(\xi)(b-a).$$
這叫做積分中值定理（The Mean Value Theorem for Integrals），它有明顯的幾何意義：對於任意的曲邊梯形來說，總存在一個以 $b-a$ 爲底，以曲邊上一點 $\xi$ 的縱座標 $f(\xi)$ 爲高的矩形，其面積就等於曲邊梯形的面積。
The article was recently updated on Monday, October 23, 2023, 13:40:17 by 👩 高松年.
